2016-02-07 13:10 | カテゴリ:クラシック音楽

前回まで、12音から音を抽出し、幾何学的な対称性を持つ、正十二角形、正六角形、正四角形を見てきました。

さて、ここで「対角線」を考えてみましょう。
対角線とは、四角形以上の図形において、2つ頂点を結ぶ線分のうち、図形の中心点を通るものですから、四角形なら2本、六角形なら3本、十二角形なら6本あります。

時計の文字盤で言うと、12と6、1と7、2と8……などですね。

12音で考えると、この「対角線」の関係にある音は、「三全音(=増4度または減5度)」といわれる音程関係にあります。

以前の記事
でも鍵として出てきました。
ドレミファソラシドの、シとファの関係です。これは特別です。

シ(低)→ド(高)は「短二度」の関係にありますが、ド(低)→シ(高)となると、「長七度」の関係に変わってしまいます。
シ(低)→レ(高)は「短三度」の関係にありますが、レ(低)→シ(高)となると、「長六度」の関係に変わってしまいます。
シ(低)→ミ(高)は「完全四度」の関係にありますが、ミ(低)→シ(高)となると、「完全五度」の関係に変わってしまいます。

と、2つの音程を入れ替えると、音程差と「周波数比」も変化してしまうのですが、シに対する他の11音のうち、対角線で結ばれるファだけ、つまり「三全音」(全音3つ間隔)にある音程は、ひっくり返しても三全音で、音程と周波数比が一定なのです。

その周波数比は、1:√2=1:1.41421356…という、整数比では表せない「無理数」です。
他の音程は「整数比」の関係にあるのに対し、三全音は「無比数」の関係にあります。

よって、この2音がもたらす響きは「不協和」で「不安定」ですが、お互いに吊り合ってしまっていることになります。

正十二角形、正六角形、正四角形からなる音階、和音は、一辺の長さと角の等しさの他に、この無理数の関係に支配されていることになります。

つづく…
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